相続登記をしないでおくとどうなりますか？

不動産の名義変更（相続登記）をせずにいても、罰則を受けるということはありません。
しかし、不動産の管理や処分の際に、非常に手間がかかる場合があります。
※2019年2月10日追記あり

不動産の所有権に関する登記は、第三者に対して権利を主張するためのものです。つまり法律上強制されているものではなく、相続登記をしなくても罰則はありません。

しかし、相続登記をしていなければ、不動産を売却して名義を変更することや、担保設定をして融資を受けるといったことができません。売却ができなければ、固定資産税も支払わなければなりません。

また、長い間相続登記をしないでいると、本来の相続人が亡くなってしまう、という事態も想定されます。（数次相続）こうなると、相続人の数が増え、今まで会ったこともないような遠い親戚と、突然、遺産分割協議をしなければならない、という事態も発生します。

このように、相続登記を放置することは、不動産の処分を困難にします。結果的に不動産自体が空き家になってしまうなどし、現在、空き家が社会問題化している一因となっています。

法務省も相続登記の推進に取り組んでいます。土地の有効利用や、空き家増加の防止がその目的です。平成29年5月には「法定相続証明情報」という制度も始まり、相続に関する国民の関心を高めようとしています。

以下平成31年2月10日追記部分
また、法務省は上記のような全国で増え続ける「所有者不明土地」の解消に向け、相続登記の義務化に関する制度改正を2019年2月14日の法制審議会総会で諮問する考えを明らかにしています。
まだ法改正の内容がわからないのはもちろん、改正されることも確定はしていないのですが、仮に義務化となった場合は、相続登記をしていないと罰金的なものが科されたり、思うような承継が出来なくなるという可能性もあります。

現在、亡くなった方の名義になっている不動産がある場合には、できるだけ早く手続を進められることを強くお勧めいたします。